Последняя цифра степени

МОУ «Шербакульская средняя общеобразовательная школа №1»

Научное сообщество учащихся «Поиск»

Тема: « Последняя цифра степени.»

Выполнила: ученица 7 «б» класса

Терентьева Валентина

Руководитель: Пушило Т.Л.

р.п. Шербакуль

2010 – 2011 уч. год

Содержание:

·       Введение.

·       Цели работы.

·       Последняя цифра степени.

·       Закономерности возведения в степень

·       Две последних цифры степени.

·       Задачи.

·       Заключение.

·       Использованная литература .

Введение.

     Однажды, листая страницы книги «Тысяча проблемных задач по математике», я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример надо было найти последнюю цифру суммы

1¹⁹⁸⁹+ 2¹⁹⁸⁹+ 3¹⁹⁸⁹+ 4¹⁹⁸⁹+ 5¹⁹⁸⁹+…+ 1989¹⁹⁸⁹.

     Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления и тут я принялась считать…

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Цели работы:

·        Узнать, можно ли построить таблицу последних цифр различных степеней.

·        Найти закономерность в них.

·        Используя таблицу практиковаться на более легких задачах и решить вышеупомянутый пример и если получится более сложные.
Последняя цифра степени.

    Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2ⁿ, где n
– натуральное число, с изменением показателя n. Для этого рассмотрим таблицу:

2¹= 2

2⁵ = 32

2⁹ = 512

2² = 4

2⁶= 64

2¹⁰ = 1024

2³= 8

2⁷= 128

2¹¹ = 2048

2⁴ = 16

2⁸= 256

2¹² = 4096

   Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2ⁿ для любого показателя n.

    В самом деле, возьмем число 2¹⁰⁰. Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2⁴, 2⁸, 2¹², показатели которых кратны четырем. Значит, число 2¹⁰⁰, как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

    Возьмем к примеру, 2²², если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

    Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

    А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.
Закономерности возведения в степень:

Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.

При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.

Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).

Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

Две последних цифры степени.

    Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.

Степень

02

03

04

05

06

07

08

09

10

Х²

04

09

16

25

36

49

64

81

00

Х³

08

27

64

25

16

43

12

29

00

Х⁴

16

81

56

25

96

01

96

61

Х⁵

32

43

24

76

07

68

49

Х⁶

64

29

96

56

44

41

Х⁷

28

87

84

36

52

69

Х⁸

56

61

36

16

21

Х⁹

12

83

44

28

89

Х¹⁰

24

49

76

24

01

Х¹¹

48

47

04

92

09

Х¹²

96

41

36

Х¹³

92

23

88

Х¹⁴

84

69

04

Х¹⁵

68

07

32

Х¹⁶

36

21

56

Х¹⁷

72

63

48

Х¹⁸

44

89

84

Х²⁰

88

67

72

Х²¹

76

01

76

Х²²

52

03

08

Х²³

04

Повтор

20

20

10

1

5

4

20

10

1

Последняя цифра степени

Закон на тему Последняя цифра степени

Последняя цифра степени